Тема 8

Общее уравнение динамики

(объединённый принцип Даламбера-Лагранжа)

Цели занятия: освоить применение общего уравнения динамики при изучении движения механических систем с одной и несколькими степенями свободы.

Перед тем, как приступить к изучению данной темы, рекомендуется повторить следующие вопросы из курса теоретическая механика:

1. Раздел статика: главный вектор и главный момент системы сил, теорема о приведении произвольной системы сил к центру, случаи приведения системы сил к равнодействующей и паре сил.

2. Раздел кинематика: поступательное, вращательное, плоскопараллельное движение твёрдого тела.

3. Раздел динамика: элементарная работа силы, принцип Даламбера, принцип возможных перемещений, приведение даламберовых сил инерции твёрдого тела при его поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях.

Список рекомендуемой литературы:

  1. Яблонский А. А.., Никифорова В. М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов. – изд. 14-е, исправленное - М.: Интеграл-Пресс, 2007. – 608 с. Раздел III. Динамика. Глава 18.

 2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. втузов.- 12-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 1998. – 416 с., Глава XX\/II I .

 3. Лачуга Ю. Ф., Ксендзов В. А. Теоретическая механика. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: КолосС, 2005. – 576 с. Глава 23.

 4. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986 (и последующие издания).

Контрольные вопросы для самопроверки

 1. Какой вид имеет общее уравнение динамики?

2. Что называется обобщённой силой, соответствующей некоторой обобщённой координате механической системы, какую она имеет размерность?

3. Чему равны обобщённые реакции идеальных связей?

4. Каковы особенности применения общего уравнения динамики к исследованию механических систем с одной степенью свободы?

5. Каковы особенности применения общего уравнения динамики к исследованию механических систем с несколькими степенями свободы?

6. Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщённых силах?

7. Как определяются обобщённые силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

8. Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщённых силах?

9. Справедливо ли общее уравнение динамики в случае нестационарных связей?

Требования к знаниям

Чётко формулировать общее уравнение динамики, уметь записывать его в различных формах, знать особенности его применения к исследованию движения механических систем с одной и несколькими степенями свободы.

Методические рекомендации к решению задач

Общее уравнение динамики применяется для составления дифференциальных уравнений движения механических систем.

Задачи с помощью общего уравнения динамики рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Изобразить на рисунке активные силы, приложенные к каждой из материальных точек механической системы.

2. При наличии неидеальных связей добавить соответствующие реакции связей (силы трения отнести к числу активных сил).

3. Сделать предположение о направлении ускорений точек механической системы.

4.  Приложить к телам, входящим в состав  механической       системы,  даламберовы силы  инерции,  направив   их в сторону,  противоположную соответствующим ускорениям, выписать формулы, по которым определяются главные векторы и главные моменты даламберовых сил инерции.

Дальнейший ход решения задачи зависит от того, сколько степеней свободы имеет исследуемая механическая система.

В случае механической системы с одной степенью свободы:

5. Сообщить возможное перемещение одной из точек механической системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения, изобразив их на рисунке.

6. Вычислить сумму элементарных работ активных сил, реакций неидеальных связей, а также даламберовых сил инерции на возможных перемещениях точек приложения сил и приравнять её нулю.

7. Выразить возможные перемещения точек приложения сил через перемещение какой-либо одной точки и, подставив полученные соотношения в уравнение работ, определить непосредственно из него или после интегрирования искомую величину (после сокращения полученного уравнения работ на заданное возможное перемещение).

Для механической системы с несколькими степенями свободы:

5. Выбрать независимые возможные перемещения точек механической системы в числе, равном числу степеней свободы этой системы.

6. Сообщить возможное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы механической системы, считая при этом возможные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю. Составить уравнение работ, выражающее общее уравнение динамики, для каждого независимого перемещения. Используя связи между возможными перемещениями точек приложения сил на каждом независимом перемещении, преобразовать полученные уравнения работ (как в случае механической системы с одной степенью свободы).

7. Решив полученную систему уравнений (число уравнений, которой равно числу степеней свободы механической системы), определить искомые величины. Система уравнений получается после сокращения каждого из составленных уравнений на соответствующее независимое возможное перемещение.

8. Если искомые ускорения оказываются положительными, то сделанные предположения о направлениях ускорений подтверждаются, если же оказались отрицательными, то соответствующие ускорения направлены в другую сторону.

Примеры решения задач

Рекомендуется познакомиться с решением задач по данной теме, используя пособия:

1. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах, Т2. Динамика. – 7-е изд., перераб. - М.: Наука, 1985. -560 с.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов. – 5-е изд., исправленное – М.: Интеграл–Пресс, 1998. – 384 с.

3. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений/Л. И. Котова, Р. И. Надеева, С. М. Тарг и др.; Под ред. С. М. Тарга — 4-е изд. — М.: Высш. шк., 1989.— 111 с: ил.

4. Теоретическая механика и методы математики: - Учебное пособие /А. А. Федута, А. В. Чигарев, - Мн.:УП «технопринт», 2000. – 504 с.

5. Теоретическая механика: Руководство к решению задач/ О. Н. Арсеньев, О. С. Степаненков, А. В. Шаповалов и др.; под общ. ред. С. К. Слезкинского. – СПб.: Политехника, 2007. -487 с.

6. Диевский В. А., Малышева И. А. Теоретическая механика. Сборник заданий : Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 192 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

7. Кирсанов М. Н. Решебник. Теоретическая механика. / Под ред. А. И. Кириллова. - 2-е изд. , испр. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 384 с.

Список задач для самостоятельного решения

Для самостоятельного решения рекомендуются следующие задачи из сборника задач по теоретической механике И. В. Мещерского: 47.1, 47.2, 47.3, 47.4, 47.5, 47.6, 47.7, 47.8, 47.9, 47.10, 47.11, 47.12, 47.13, 47.14, 47.15, 47.16, 47.17.